코딩 수학

sympy 모듈을 불러오고, 사용할 기호 변수를 선언한다. 맷플롯립 모듈을 불러온다.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()          

x, y, z = symbols('x y z')
a, b, c, t = symbols('a b c t')

%matplotlib inline

삼각함수

다음 삼각함수의 값을 구한다.

$$ \sin \frac \pi 3 $$
In [2]:
sin( pi / 3 )
Out[2]:
$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

삼각함수의 성질:

$$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $$
In [3]:
simplify( sin( x )**2 + cos( x )**2 )
Out[3]:
$$1$$

삼각함수의 성질: $\,\, x+2 \pi$

$$ \begin{align} \sin \left( x +2 \pi \right) &= \,\sin x \\ \cos \left( x +2 \pi \right) &= \, \cos x \\ \tan \left( x +2 \pi \right) &= \, \tan x \end{align} $$
In [4]:
simplify( sin( x + 2*pi ) )
Out[4]:
$$\sin{\left (x \right )}$$

삼각함수의 성질: $\,\, -x$

$$ \begin{align} \sin \left( -x \right) &= - \sin x \\ \cos \left( -x \right) &= \, \cos x \\ \tan \left( -x \right) &= - \tan x \end{align} $$
In [5]:
simplify( cos(-x) )
Out[5]:
$$\cos{\left (x \right )}$$

삼각함수의 성질: $\,\, \pi + x$

$$ \begin{align} \sin \left( \pi + x \right) &= - \sin x \\ \cos \left( \pi + x \right) &= - \cos x \\ \tan \left( \pi + x \right) &= \, \tan x \end{align} $$
In [6]:
simplify( sin( pi + x ) )
Out[6]:
$$- \sin{\left (x \right )}$$

삼각함수의 성질: $\,\, \pi - x$

$$ \begin{align} \sin \left( \pi - x \right) &= \,\sin x \\ \cos \left( \pi - x \right) &= - \cos x \\ \tan \left( \pi - x \right) &= - \tan x \end{align} $$
In [7]:
simplify( tan( pi - x ) )
Out[7]:
$$- \tan{\left (x \right )}$$

삼각함수의 성질: $\,\, \frac \pi 2 + x $

$$ \begin{align} \sin \left( \frac \pi 2 + x \right) &= \,\cos x \\ \cos \left( \frac \pi 2 + x \right) &= - \sin x \\ \tan \left( \frac \pi 2 + x \right) &= - \frac 1 {\tan x } \end{align} $$
In [8]:
simplify( sin( pi/2 + x ) )
Out[8]:
$$\cos{\left (x \right )}$$

삼각함수의 성질: $\,\, \frac \pi 2 - x $

$$ \begin{align} \sin \left( \frac \pi 2 - x \right) &= \,\cos x \\ \cos \left( \frac \pi 2 - x \right) &= \, \sin x \\ \tan \left( \frac \pi 2 - x \right) &= \, \frac 1 {\tan x } \end{align} $$
In [9]:
simplify( cos( pi/2 - x ) )
Out[9]:
$$\sin{\left (x \right )}$$

삼각함수의 그래프

사인함수

$y=\sin x $

In [10]:
plot( sin(x), xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-2,2) )
Out[10]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7830d50>

코사인함수

$y=\cos x $

In [11]:
plot( cos(x), xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-2,2) )
Out[11]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x788c9b0>

탄젠트함수

$y=\tan x $

In [12]:
plot( tan(x), xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-4,4) )
Out[12]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8aa3770>

삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

$$ \begin{align} \sin \left( a+b \right) &= \,\sin a \cos b + \cos a \sin b \\ \sin \left( a-b \right) &= \,\sin a \cos b - \cos a \sin b \\ \cos \left( a+b \right) &= \,\cos a \cos b - \sin a \sin b \\ \cos \left( a-b \right) &= \,\cos a \cos b + \sin a \sin b \\ \tan (a+b) &= \frac {\tan a + \tan b} {1- \tan a \tan b} \\ \tan (a-b) &= \frac {\tan a - \tan b} {1+ \tan a \tan b} \\ \end{align} $$

삼각함수의 전개는 expand_trig( ) 함수를 이용한다.

In [13]:
expand_trig( sin( a + b ) )
Out[13]:
$$\sin{\left (a \right )} \cos{\left (b \right )} + \sin{\left (b \right )} \cos{\left (a \right )}$$
In [14]:
expand_trig( tan( a + b  ) )
Out[14]:
$$\frac{\tan{\left (a \right )} + \tan{\left (b \right )}}{- \tan{\left (a \right )} \tan{\left (b \right )} + 1}$$

삼각함수의 덧셈정리 공식을 반대 방향으로 간단히 하려면, trigsimp( ) 함수를 이용한다.

In [15]:
trigsimp( cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) )
Out[15]:
$$\cos{\left (a + b \right )}$$

simplify( ) 함수를 사용하여도 같은 결과를 얻는다.

In [16]:
simplify( cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) )
Out[16]:
$$\cos{\left (a + b \right )}$$

삼각함수의 합성

덧셈정리를 이용하면 $$ \sin t + \cos t = \sqrt 2 \sin \left( t+ \frac {\pi} 4 \right) $$

In [17]:
trigsimp( sin(t) + cos(t) )
Out[17]:
$$\sqrt{2} \sin{\left (t + \frac{\pi}{4} \right )}$$
In [18]:
simplify( sin(t) + cos(t) )
Out[18]:
$$\sin{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}$$

이 경우에는 simplify( ) 함수가 잘 작동하지 않는데, trigsimp( ) 함수가 삼각함수에 더 잘 특화되어 있다.

배각의 공식

$$ \begin{align} \sin 2a &= \, 2 \sin a \cos a \\ \cos 2a &= \,\cos ^2 a - \sin ^2 a \,=\,2 \cos ^2 a - 1 \,=\, 1 - \sin ^2 a \\ \tan 2a &= \frac {2 \tan a } {1- \tan ^2 a } \\ \end{align} $$
In [19]:
expand_trig( sin(2*a) )
Out[19]:
$$2 \sin{\left (a \right )} \cos{\left (a \right )}$$
In [20]:
expand_trig( cos(2*a) )
Out[20]:
$$2 \cos^{2}{\left (a \right )} - 1$$

반각의 공식

$$ \begin{align} \sin ^2 \frac a 2 &= \, \frac {1- \cos a} 2 \\ \cos ^2 \frac a 2 &= \, \frac {1+ \cos a} 2 \\ \tan ^2 \frac a 2 &= \, \frac {1- \cos a} {1+ \cos a} \\ \end{align} $$

위 공식의 형태로는 우변의 결과로 잘 정리 되어지지 않지만,

In [21]:
trigsimp( sin(a/2) **2 )
Out[21]:
$$\sin^{2}{\left (\frac{a}{2} \right )}$$

형태를 조금 바꾸면 간략화가 가능해 진다.

In [22]:
trigsimp( 1 - 2*sin(a/2)**2 )
Out[22]:
$$\cos{\left (a \right )}$$
In [23]:
trigsimp( 1 - 2*cos(a/2)**2 )
Out[23]:
$$- \cos{\left (a \right )}$$

삼각함수의 곱의 공식

$$ \begin{align} \sin a \cos b &= \, \frac 1 2 \left \{ \sin (a+b) + \sin (a-b) \right \} \\ \cos a \sin b &= \, \frac 1 2 \left \{ \sin (a+b) - \sin (a-b) \right \} \\ \cos a \cos b &= \, \frac 1 2 \left \{ \cos (a+b) + \cos (a-b) \right \} \\ \sin a \sin b &= \, - \frac 1 2 \left \{ \cos (a+b) - \cos (a-b) \right \} \\ \end{align} $$
In [24]:
trigsimp( sin(a+b) + sin(a-b) )
Out[24]:
$$2 \sin{\left (a \right )} \cos{\left (b \right )}$$
In [25]:
trigsimp( cos(a+b) + cos(a-b) )
Out[25]:
$$2 \cos{\left (a \right )} \cos{\left (b \right )}$$

삼각함수의 합의 공식

$$ \begin{align} \sin A + \sin B &= \, 2 \sin \frac {A+B} 2 \, \cos \frac {A-B} 2 \\ \sin A - \sin B &= \, 2 \cos \frac {A+B} 2 \, \sin \frac {A-B} 2 \\ \cos A + \cos B &= \, 2 \cos \frac {A+B} 2 \, \cos \frac {A-B} 2 \\ \cos A - \cos B &= \,-2 \sin \frac {A+B} 2 \, \sin \frac {A-B} 2 \\ \end{align} $$

공식의 우변에서 좌변으로 간략화가 쉽다.

In [26]:
A, B = symbols('A B')
In [27]:
trigsimp( 2 * sin((A+B)/2) * cos((A-B)/2) )
Out[27]:
$$\sin{\left (A \right )} + \sin{\left (B \right )}$$
In [28]:
trigsimp( -2 * sin((A+B)/2) * sin((A-B)/2) )
Out[28]:
$$\cos{\left (A \right )} - \cos{\left (B \right )}$$

다음 식을 간단히 한다.

$ (1- \sec ^4 t ) \cot ^2 t + \sec ^2 t $

In [29]:
trigsimp( (1-cos(t)**(-4)) * tan(t)**(-2) + cos(t)**(-2) )
Out[29]:
$$-1$$

삼각 방정식

삼각 방정식 $\,\, 2 \cos x + 1 = 0$ 을 푼다. $\, ( 0 \leq x < 2 \pi )$

In [30]:
solve( Eq( 2*cos(x)+1, 0 ), x )
Out[30]:
$$\left [ \frac{2 \pi}{3}, \quad \frac{4 \pi}{3}\right ]$$

다음 삼각 방정식을 푼다.

$\qquad \sin t = \cos 2t \qquad \qquad$ 해: $t= \frac \pi 6 , \frac {5 \pi} 6 , - \frac \pi 2 $

In [31]:
plot( sin(t) - cos(2*t), xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-3,3) )
Out[31]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8f8e150>
In [32]:
soln = solve( sin(t) - cos(2*t), t)
soln
Out[32]:
$$\left [ - \frac{\pi}{2}, \quad - i \log{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right )}, \quad - i \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} \right )}\right ]$$

해가 복소수의 로그 함수로 복잡한 형태로 주어졌다. 하지만 실제로 두 번째 해의 실수부와 허수부를 각각 구해보면

In [33]:
re( soln[1] )
Out[33]:
$$\frac{5 \pi}{6}$$
In [34]:
im( soln[1] )
Out[34]:
$$0$$

해가 실수임을 알 수 있다.

복소수를 실수와 허수 부분으로 나누어 표현하는 expand_complex( ) 함수를 이용한다. 예를 들어서

$ e ^{\, i \frac \pi 4 } = \cos \frac \pi 4 + i \sin \frac \pi 4$

In [35]:
expand_complex( exp(I*pi/4) )
Out[35]:
$$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} i}{2}$$

expand_complex( ) 방법을 두 해에 적용해보면

In [36]:
expand_complex( soln[1] )
Out[36]:
$$\frac{5 \pi}{6}$$
In [37]:
expand_complex( soln[2] )
Out[37]:
$$\frac{\pi}{6}$$

위와 같이 허수부가 없는 실수해 임을 확인할 수 있다.

다음 삼각 방정식을 푼다.

$\qquad \sqrt 3 \sin x - \cos x = 1\qquad \qquad$ 해: $ \, x= \frac \pi 3 , \pi $

좌변 $= 0 \,\,$ 의 형태로 바꾸어서, 그래프를 그리면

In [38]:
plot( sqrt(3)*sin(x) - cos(x) - 1, xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-3,3) )
Out[38]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8fb4dd0>
In [39]:
soln = solve( sqrt(3)*sin(x) - cos(x) - 1, x )
soln
Out[39]:
$$\left [ \frac{\pi}{3}\right ]$$

해가 하나만 얻어지고, 두 번째 해 $x = \pi$ 는 얻어지지 않았다. 위 수식을 먼저 간단히 하고 나서

In [40]:
trigsimp( sqrt(3)*sin(x) - cos(x) - 1 )
Out[40]:
$$- 2 \cos{\left (x + \frac{\pi}{3} \right )} - 1$$
In [41]:
solve( _ , x )
Out[41]:
$$\left [ \frac{\pi}{3}, \quad \pi\right ]$$

다시 풀면 두 개의 해가 얻어진다.

그래프를 먼저 그려보고, 해를 구하는 것이 효과적인 풀이 방법 임을 알 수 있다.

다음 삼각 방정식을 푼다.

$\qquad \cos 2x = 2 -3 \sin x \qquad$ 해: $\, x= \frac \pi 6 , \frac \pi 2, \frac {5 \pi} 6 $

좌변 $= 0 \,\,$ 의 형태로 바꾸어서, 그래프를 그리면

In [42]:
plot( cos(2*x) + 3*sin(x) - 2 , xlim=(-6.28,6.28), ylim=(-7,1) )
Out[42]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8e6ff70>
In [43]:
solve( cos(2*x) + 3*sin(x) - 2 , x  )
Out[43]:
$$\left [ \right ]$$

해가 구해지지 않는다. 주어진 수식을 간략화해 보면

In [44]:
trigsimp( cos(2*x) - 2 + 3*sin(x)  )
Out[44]:
$$3 \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} - 2$$

더 이상 간략화가 되지 않았다. 수식을 전개 한 다음에 해를 구해보자.

In [45]:
expand_trig( cos(2*x) - 2 + 3*sin(x) )
Out[45]:
$$3 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} - 3$$
In [46]:
soln = solve( _ , x )
soln
Out[46]:
$$\left [ \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{2}, \quad 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}\right ]$$
In [47]:
simplify( soln[2] )
Out[47]:
$$2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$

마지막 해는 수치적으로 $\frac {5 } 6 \pi$ 와 같음을 확인해 볼 수 있다.

In [48]:
N( soln[2] - pi * 5 / 6 )
Out[48]:
$$5.0 \cdot 10^{-125}$$

해석적으로 $\frac {5 } 6 \pi$ 와 같음을 보이기 위해서, $\tan \frac {5 } {12} \pi $ 를 구해보면

In [49]:
tan(5*pi/12)
Out[49]:
$$\sqrt{3} + 2$$

$\tan ( \frac {5 } {12} \pi ) = \sqrt 3 + 2 $ 이므로 $\qquad \frac {5 } {12} \pi = \tan ^{-1} ( \sqrt 3 + 2 ) $ 이고

$ \frac {5 } {6} \pi = 2 \tan ^{-1} ( \sqrt 3 + 2 ) $ 이다.