코딩 수학

sympy 모듈을 불러온다. 또한, 자주 쓰는 변수를 선언한다.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()             # 수식을 보기좋게 출력하는 함수를 호출한다

x, y, z, t = symbols('x y z t')

그래프를 그려주는 맷플롯립 모듈을 불러온다.

In [2]:
%matplotlib inline

직선의 방정식

직선 $y=2x-1$ 을 그린다.

In [3]:
plot( 2*x - 1 )
Out[3]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x780d710>

특별히 $x$ 의 범위를 지정하지 않으면, $(-10,10)$ 범위에서 그려진다.

$x$ 의 범위를 $-2$ 에서 $3$ 까지 지정하여 그려보자.

In [4]:
plot( 2*x-1, (x,-2,3) )
Out[4]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x78c44b0>

다음 일차 방정식이 나타내는 직선을 그린다.

$\qquad 2x+3y-5=0$

음함수 형태로 주어진 위 방정식을 $y$ 에 대하여 풀어서, 양함수 형태로 얻는다.

In [5]:
soln = solve( Eq(2*x+3*y-5,0), y )
soln
Out[5]:
$$\left [ - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}\right ]$$

괄호 [ ] 를 벗겨내기 위해서, 첫번째 원소를 취한다. ( [0] 가 첫번째 원소를 뜻함 )

In [6]:
soln[0]
Out[6]:
$$- \frac{2 x}{3} + \frac{5}{3}$$

위 수식이 양함수 형태의 $y$ 이고, 이를 그래프로 그린다.

In [7]:
plot( _ )
Out[7]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x580ff50>

음함수 (implicit function) 형태로 주어진 방정식을 직접 그릴 수도 있다.

$\qquad x-2y+2=0$

plot_imiplicit( ) 을 이용한다.

In [8]:
plot_implicit( Eq( 2*x+3*y-5, 0 ) )
Out[8]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7b9d190>

원의 방정식

원의 방정식을 그래프로 그려보자.

$\qquad x^2+y^2=1$

$y$ 를 양함수 형태를 얻기 위해서, 방정식을 풀면

In [9]:
Ys = solve( Eq( x**2 + y**2, 1 ), y )
Ys
Out[9]:
$$\left [ - \sqrt{- x^{2} + 1}, \quad \sqrt{- x^{2} + 1}\right ]$$

두 식은 $x$ 축의 위와 아래에 각각 반원을 나타나는 함수들이다. 두 식을 함께 그리면

In [10]:
plot( Ys[0], Ys[1], xlim=(-3,3), ylim=(-2,2) )
Out[10]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7c27af0>

xlim 과 ylim 은 각각 $x$ 축과 $y$ 축의 범위를 지정하는 인자이다.

음함수 형태로 원의 방정식을 직접 그릴 수도 있다.

$\qquad x^2+y^2=1$

plot_implicit( ) 을 이용한다.

In [11]:
plot_implicit( Eq( x**2 + y**2, 1 ), (x,-3,3), (y,-2,2) )
Out[11]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7902270>

원의 방정식 $ x^2+y^2=1$ 에 대하여, 매개변수 $t$ 를 이용하여 $x, y$ 를 표현하면

$\qquad x = \cos t \,, \quad y = \sin t $

매개변수로 표현한 함수를 그래프를 그리려면, plot_parametric( ) 을 이용한다.

In [12]:
from sympy.plotting import plot_parametric

plot_parametric( cos(t), sin(t), (t, 0, 2*pi),  xlim=(-3,3), ylim=(-2,2) )
Out[12]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7bc67f0>

원과 직선

원과 직선의 교차점을 그래프로 찾는다.

\begin{align} x^2+y^2 &= 4 \\ 2x-y+1 &= 0 \end{align}

여러개의 음함수들을 함께 그리려면, Or 기능을 사용한다.

In [13]:
plot_implicit( Or( Eq( x**2+y**2,4 ), Eq( 2*x-y+1,0 ) ), (x,-4,5), (y,-3,3) )
Out[13]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fb1a90>

원과 직선의 교점을 찾기 위해서, 연립 방정식을 푼다

In [14]:
Ps = solve( [ Eq( x**2 + y**2, 4 ), Eq( 2*x - y + 1, 0 ) ], [x,y] )
Ps
Out[14]:
$$\left [ \left ( - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{19}}{5}, \quad \frac{1}{5} + \frac{2 \sqrt{19}}{5}\right ), \quad \left ( - \frac{\sqrt{19}}{5} - \frac{2}{5}, \quad - \frac{2 \sqrt{19}}{5} + \frac{1}{5}\right )\right ]$$

두 교점의 수치적인 값들을 N( ) 으로 구해 보면

In [15]:
( N( Ps[0][0] ),  N( Ps[0][1] ) )            # 1사분면 교점 좌표
Out[15]:
$$\left ( 0.471779788708135, \quad 1.94355957741627\right )$$
In [16]:
( N( Ps[1][0] ),  N( Ps[1][1] ) )            # 3사분면 교점 좌표
Out[16]:
$$\left ( -1.27177978870813, \quad -1.54355957741627\right )$$

부등식

부등식 $y>x^2-1$ 의 영역을 그래프로 표시하면

In [17]:
plot_implicit( y > x**2 - 1 )
Out[17]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x3e3af50>

원 $x^2+y^2=4$ 의 내부 영역을 그래프로 나타낸다.

In [18]:
plot_implicit( x**2 + y**2 < 4, (x,-4.5,4.5), (y,-3,3) )
Out[18]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8110af0>

부등식 $(x-y)(x+y)<0$ 의 영역을 그래프로 나타내면

In [19]:
plot_implicit( (x-y)*(x+y) < 0, (x,-3,3), (y,-2,2) )
Out[19]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8360c10>

연립부등식의 영역을 그래프로 나타낸다

\begin{align} 2x \, + \, y & > 2 \\ x^2+y^2 & < 9 \end{align}

두 부등식을 동시에 만족하는 영역을 찾으려면, And 기능을 사용한다.

In [20]:
plot_implicit( And( 2*x + y > 2, x**2 + y**2 < 9 ), (x,-6,6), (y,-4,4) )
Out[20]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x8132950>