코딩 수학

sympy 모듈을 불러오고, 사용할 기호 변수를 선언한다. 맷플롯립 모듈을 불러온다.

In [1]:
from sympy import *
init_printing()          

x, y, z, t = symbols('x y z t')
a, b, c, r = symbols('a b c r', constant=True)
f, g, h = symbols('f, g, h', cls=Function)

%matplotlib inline

적분

예를 들어 다음 부정적분을 구하려면 $$\int 3x^2 dx = x^3 + C $$ integrate() 함수를 이용하여 적분을 구한다.

In [2]:
integrate( 3 *x**2, x )
Out[2]:
$$x^{3}$$

두 번째 인자 $x$ 는 "$x$ 에 대한 적분"을 나타내고, 적분 상수는 따로 출력되지 않는다.

함수 $\, x^r \,\,(r \,\text{은 실수})$ 의 부정적분은

$r \neq -1$ 의 경우, $$\int x^r dx = \frac 1 {r+1} x^{r+1} + C $$ $r = -1$ 의 경우, $$\int x^{-1} dx = \ln \, \left| x \right| + C $$

In [3]:
integrate( x**r, x )
Out[3]:
$$\begin{cases} \log{\left (x \right )} & \text{for}\: r = -1 \\\frac{x^{r + 1}}{r + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$

함수 $\frac 1 x$ 의 적분을 구해보면 $\ln x$ 이다.

In [4]:
integrate( 1/x, x )
Out[4]:
$$\log{\left (x \right )}$$

공식과 다르게 로그 함수의 인자에 절대값 표시가 없는데, 이 경우의 $\ln x$ 는 복소 함수를 의미한다.

[ 심화 고찰: 복소 로그함수 ]

복소 로그함수 $\ln x$ 를 expand_complex( ) 를 이용하여 실수부와 허수부를 나누어서 나타내 본다.

In [5]:
expand_complex( log(x) )
Out[5]:
$$\log{\left (\sqrt{\left(\Re{x}\right)^{2} + \left(\Im{x}\right)^{2}} \right )} + i \arg{\left (\Re{x} + i \Im{x} \right )}$$

복소 로그함수의 실수부는 복소수 $x $ 의 크기에 대한 실수 로그함수이고,

허수부는 $x$ 를 복소평면 위에서 극좌표 형식 ($x=r e^{i \theta}$)으로 나타낼 때의 위상각 $\theta$ 이다. ($-\pi<\theta<\pi$)

예를 들어, $$\ln i = \ln 1 + i \frac {\pi} 2 $$

In [6]:
log( I )
Out[6]:
$$\frac{i \pi}{2}$$

음의 실수에 대한 복소 로그함수는 주의를 요한다.

음의 실수의 위상각은 $\pi$ 또는 $-\pi$ 로서 음의 실수축을 경계로 불연속이다.

이와같이 복수함수가 불연속성을 보이는 경계선을 branch cut 이라 한다.

복소평면의 위쪽에서 음의 실수로 접근할 때, 위상각은 $\pi$ 가 되고,

In [7]:
log( -1 + I*0.0000001 )
Out[7]:
$$4.99999999999997 \cdot 10^{-15} + 3.14159255358979 i$$

복소평면의 아래쪽에서 음의 실수로 접근할 때는, 위상각은 $-\pi$ 가 된다.

In [8]:
log( -1 - I*0.0000001 )
Out[8]:
$$4.99999999999997 \cdot 10^{-15} - 3.14159255358979 i$$

복소 로그함수의 인자가 양의 실수인 경우와 음의 실수인 경우를 구분하여 고찰해보자.

양의 실수인 경우:

기호 변수 $x$ 를 구체적으로 양의 실수로 선언한다.

In [9]:
x = Symbol('x', real=True, positive=True)

$\ln x$ 를 expand_complex() 로 실수부와 허수부로 펼쳐서 나타내면

In [10]:
expand_complex( log(x) )
Out[10]:
$$\log{\left (x \right )}$$

이 로그함수는 양의 실수 $x$ 를 인자로 취하는 실수 로그함수이다.

실제로, 허수부를 표시해 보면 $0$ 임을 알 수 있다.

In [11]:
im( _ )
Out[11]:
$$0$$

음의 실수인 경우:

기호 변수 $x$ 를 구체적으로 음의 실수로 선언한다.

In [12]:
x = Symbol('x', real=True, positive=False)

$\ln x$ 를 expand_complex() 로 실수부와 허수부로 전개하면

In [13]:
expand_complex( log(x) )
Out[13]:
$$\log{\left (- x \right )} + i \arg{\left (x \right )}$$

실수부의 로그함수는 $-x$ 를 인자로 취한 실수 로그함수이다.

허수부 $\arg (x)$ 는 음의 실수의 위상각이며, 그 값은 $\pm \pi$ 이다.

In [14]:
x = Symbol('x')
# [심화 고찰] --끝--

적분의 성질

두 함수의 합의 적분은 적분들의 합과 같다. $$ \int \{ f(x)+g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $$ 함수의 상수배의 적분은 적분의 상수배와 같다. $$ \int c f(x) dx = c \int f(x) dx \quad ( c \text{ 는 상수)}$$

어떤 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$ 에 대하여

In [15]:
f(x)
Out[15]:
$$f{\left (x \right )}$$
In [16]:
g(x)
Out[16]:
$$g{\left (x \right )}$$
In [17]:
integrate( c*f(x) + c*g(x), x )
Out[17]:
$$c \left(\int f{\left (x \right )}\, dx + \int g{\left (x \right )}\, dx\right)$$

다음 부정적분을 구한다 $$\int \frac {(x+1)^3} x dx = \frac 1 3 x^3 + \frac 3 2 x^2 +3x + \ln x + C $$

In [18]:
integrate( (x+1)**3 / x, x )
Out[18]:
$$\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + \log{\left (x \right )}$$

다음 부정적분을 구한다 $$\int x \sqrt {x^2+1} \,dx = \frac 1 3 (x^2+1) \sqrt{x^2+1} + C $$

In [19]:
integrate( x * sqrt(x**2+1), x )
Out[19]:
$$\frac{x^{2}}{3} \sqrt{x^{2} + 1} + \frac{1}{3} \sqrt{x^{2} + 1}$$

다음 부정적분을 구한다 $$\int \frac x {x^2+1} dx = \frac 1 2 \ln (x^2+1) + C $$

In [20]:
integrate( x / (x**2+1), x )
Out[20]:
$$\frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )}$$

다음 부정적분을 구한다 $$\int x \ln x \,dx = \frac 1 2 x^2 \ln x - \frac 1 4 x^2 + C $$

In [21]:
integrate( x * log(x), x )
Out[21]:
$$\frac{x^{2}}{2} \log{\left (x \right )} - \frac{x^{2}}{4}$$

정적분

다음 정적분을 구한다 $$\int _ 1 ^2 x^2 \,dx = \frac 7 3 $$

정적분을 integrate() 로 구할 때는, $x$ 의 두 끝을 괄호 안에 넣어주면 된다.

In [22]:
integrate( x**2, (x,1,2) )
Out[22]:
$$\frac{7}{3}$$

다음 정적분을 구한다 $$\int _ 0 ^ 1 \frac t {1+t} \,dt = 1 - \ln 2 $$

In [23]:
integrate( t/(1+t), (t,0,1) )
Out[23]:
$$- \log{\left (2 \right )} + 1$$

다음 정적분을 구한다 $$\int _ 0 ^ 1 \sqrt {3x+2} \,dx = \frac {10 \sqrt 5} 9 - \frac {4 \sqrt 2} 9 $$

In [24]:
integrate( sqrt(3*x+2), (x,0,1) )
Out[24]:
$$- \frac{4 \sqrt{2}}{9} + \frac{10 \sqrt{5}}{9}$$

미적분의 기본 정리

$$ \frac d {dx} \int _ a ^x f(t) \,dt = f(x) $$

함수 $f$ 를 $t$ 의 함수로 선언한다.

In [25]:
f(t)
Out[25]:
$$f{\left (t \right )}$$
In [26]:
Fx = integrate( f(t), (t,a,x) )
Fx
Out[26]:
$$\int_{a}^{x} f{\left (t \right )}\, dt$$
In [27]:
diff( Fx, x )
Out[27]:
$$f{\left (x \right )} + \int_{a}^{x} 0\, dt$$

두 번째 항의 적분값은 실제로 $0$ 이다. 컴퓨터에게 이 적분값을 구하게 하려면, doit() 메소드를 쓴다.

In [28]:
_.doit()
Out[28]:
$$f{\left (x \right )}$$

정적분의 활용

두 곡선 사이의 넓이

곡선 $y=x^2-4$ 와 직선 $y=x-2$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

In [29]:
fx = x**2 - 4
gx = x - 2
plot( fx, gx, xlim=(-6,6), ylim=(-4,4) )
Out[29]:
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x75e3490>

두 곡선의 교점을 구한다.

In [30]:
soln = solve( Eq( fx, gx ), x )
soln
Out[30]:
$$\left [ -1, \quad 2\right ]$$

두 교점 사이에서 두 함수의 차를 적분하여, 둘러싸인 넓이를 구한다.

In [31]:
integrate( gx - fx, (x,soln[0],soln[1]) )
Out[31]:
$$\frac{9}{2}$$

입체의 부피

반지름의 길이가 $r$ 인 구의 부피를 구해보자.

$x$ 축에 수직하는 평면으로 구를 자르면, 그 단면인 원의 넓이는 $$ S(x) = \pi \left( \sqrt {r^2-x^2} \right) ^2 $$ 단면의 넓이 $S(x)$ 를 적분하여, 구의 부피를 얻는다. $$ \int _ {-r} ^ r S(x) \,dx = \frac 4 3 \pi r^3 $$

In [32]:
Sx = pi * ( r**2 - x**2 )
integrate( Sx, (x,-r,r) )
Out[32]:
$$\frac{4 \pi}{3} r^{3}$$

삼각 함수의 적분

$$ \begin{align} \int \sin x \,dx &= - \cos x + C \\ \int \cos x \,dx &= \sin x + C \\ \int \tan x \,dx &= - \ln \, \left| \cos x \right| + C \end{align} $$
In [33]:
integrate( sin(x) )
Out[33]:
$$- \cos{\left (x \right )}$$
In [34]:
integrate( cos(x) )
Out[34]:
$$\sin{\left (x \right )}$$
In [35]:
integrate( tan(x) )
Out[35]:
$$- \frac{1}{2} \log{\left (\sin^{2}{\left (x \right )} - 1 \right )}$$

$\tan x$ 의 적분 결과가, 공식에서의 표현과 다소 다르다. simplify( ) 를 적용해보면,

In [36]:
simplify( _ )
Out[36]:
$$- \frac{1}{2} \log{\left (- \cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$

$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $ 의 관계를 이용하여, 인자를 코사인함수로 바꾸어 나타낸 것이다.

또, 위의 로그함수는 인자가 음의 실수이므로, 복소 로그함수로 표현한 것이다.

[심화 고찰]

기호 변수 $x$ 를 실수로 재선언하고, 적분을 다시 구해보자.

In [37]:
x = Symbol('x', real=True)
intg = integrate( tan(x) ).simplify()
intg
Out[37]:
$$- \frac{1}{2} \log{\left (- \cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$

앞에서와 같이, 로그함수의 인자 $\, - \cos ^2 x $ 는 음의 실수로서, 복소 로그함수를 나타낸 것이다.

실수부를 따로 구해보면

In [38]:
_re = re( intg )
_re
Out[38]:
$$- \frac{1}{2} \log{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$

logcombine() 을 이용하여, 강제적으로 더 정리 할 수 있다.

In [39]:
logcombine( _re, force=True )
Out[39]:
$$- \log{\left (\left|{\cos{\left (x \right )}}\right| \right )}$$

이와 같이, 실수부의 표현이 공식과 일치됨을 알 수 있다.

한편, 적분의 허수부는 음의 실수의 위상각을 나타낸다.

In [40]:
_im = im( intg )
_im
Out[40]:
$$- \frac{1}{2} \arg{\left (- \cos^{2}{\left (x \right )} \right )}$$

위상각을 구체적으로 구해주지는 않았지만, $\, \arg{\left (- \cos^{2} x \right )}$ 는 음의 실수의 위상각이며 그 값은 $\pm \pi$ 이다.

In [41]:
x = Symbol('x')
# [심화 고찰] --끝--

다음 정적분의 값을 구한다. $$ \int _ 0 ^{\frac \pi 2} (1+\sin x)^2 \cos x \,dx = \frac 7 3 $$

In [42]:
integrate( (1+sin(x))**2 * cos(x), (x,0,pi/2) )
Out[42]:
$$\frac{7}{3}$$

다음 정적분의 값을 구한다. $$ \int _ 0 ^{\frac \pi 2} x \sin x \,dx = 1 $$

In [43]:
integrate( x * sin(x), (x,0,pi/2) )
Out[43]:
$$1$$

다음 부정적분의 값을 구한다. $$ \int \tan ^2 x \,\,dx = \tan x - x + C $$

In [44]:
integrate( tan(x)**2, x )
Out[44]:
$$- x + \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

지수함수의 적분

$$ \begin{align} \int e ^{\,x} \,dx &= e ^{\,x} + C \\ \int a ^{\,x} \,dx &= \frac {a ^{\,x}} {\ln a} + C \qquad ( a>0, a \neq 1 ) \end{align} $$

다음 부정적분을 구한다. $$ \int 5 ^{\,-3x+2} \,dx $$

In [45]:
integrate( 5**(-3*x+2), x )
Out[45]:
$$- \frac{5^{- 3 x + 2}}{3 \log{\left (5 \right )}}$$

다음 부정적분을 구한다. $$ \int x^2 e ^{\,x} \,dx = x^2 e^{\,x} -2xe^{\,x} +2e^{\,x} +C$$

In [46]:
integrate( x**2 * exp(x), x )
Out[46]:
$$\left(x^{2} - 2 x + 2\right) e^{x}$$

로그함수의 적분

$$ \begin{align} \int \ln x \,dx &= x \ln x -x + C \\ \end{align} $$

다음 정적분을 구한다. $$ \int _ 1 ^ e ( \ln x )^2 \,dx = e - 2 $$

In [47]:
integrate( log(x)**2, (x,1,exp(1)) )
Out[47]:
$$-2 + e$$

분수함수의 적분

다음 부정적분을 구한다. $$ \int \frac 1 {x(x-1)} \,dx = \ln \left| \frac {x-1} x \right| +C$$

In [48]:
integrate( 1/x/(x-1), x )
Out[48]:
$$- \log{\left (x \right )} + \log{\left (x - 1 \right )}$$

로그함수의 인자들이 모두 양수이면, 로그를 합칠 수 있다.

logcombine() 에서 force 키워드를 참으로 설정한다.

In [49]:
logcombine( _ , force=True )
Out[49]:
$$\log{\left (\frac{1}{x} \left(x - 1\right) \right )}$$

다음 정적분을 구한다. $$ \int _ 1 ^ 2 \frac {2x-1} {(x+1)^2} \,dx = 2 \ln 3 - 2 \ln 2 - \frac 1 2 $$

In [50]:
integrate( (2*x-1)/(x+1)**2, (x,1,2) )
Out[50]:
$$- 2 \log{\left (2 \right )} - \frac{1}{2} + 2 \log{\left (3 \right )}$$

다음 부정적분을 구한다. $$ \int \frac 1 {1+x^2} \,dx = \tan ^{-1} x + C $$

In [51]:
integrate( 1/(1+x**2), x )
Out[51]:
$$\operatorname{atan}{\left (x \right )}$$

다음 정적분을 구한다. $$ \int _ 0 ^ 1 \frac 1 {1+x^2} \,dx = \frac {\pi} 4 $$

In [52]:
integrate( 1/(1+x**2), (x,0,1) )
Out[52]:
$$\frac{\pi}{4}$$

무리함수의 적분

다음 정적분을 구한다. $$ \int _ 0 ^ {\frac 1 2} \sqrt {1-x^2} \,dx = \frac {\pi} {12}+ \frac {\sqrt 3} 8 $$

In [53]:
integrate( sqrt(1-x**2), (x,0,Rational(1,2)) )
Out[53]:
$$\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{12}$$

다음 부정적분을 구한다. $$ \int \frac 1 {\sqrt {1-x^2}} \,dx = \sin ^{-1}x + C $$

In [54]:
integrate( 1/sqrt(1-x**2), x )
Out[54]:
$$\operatorname{asin}{\left (x \right )}$$

곡선의 길이

곡선 $y=f(x)$ 의 길이

구간 $[a,b]$ 에서 곡선 $\, y=f(x)$ 의 길이는

$$ \int _ a ^b \sqrt{ 1+ \{ f'(x) \}^2 } \,dx $$

구간 $[-\frac 1 2, \frac 1 2]$ 에서 곡선 $\, y=\sqrt{1-x^2}$ 의 길이를 구한다. $\qquad \text{정답:} \, \frac {\pi} 3$

In [55]:
fx = sqrt(1-x**2)
fp = diff( fx, x )
integrate( sqrt( 1 + fp**2 ), (x,-Rational(1,2),Rational(1,2)) )
Out[55]:
$$\frac{\pi}{3}$$

구간 $[-1, 1]$ 에서 곡선 $\, y=\sqrt{1-x^2}$ 의 길이를 구한다. $\qquad \text{정답:} \, \pi $

In [56]:
integrate( sqrt( 1 + fp**2 ), (x,-1,1) )
Out[56]:
$$\pi$$